北师大版八年级下册数学课本习题习题6.4答案

1.证明：
∵BM⊥AC,DN⊥AC,
∴∠AMB=∠CND=90°，BM∥DN.（同时垂直于一条直线的两条直线平行）.
在平行四边形ABCD中，AB∥DC,AB=CD,
∴∠BAM=∠DCN,
在△BAM和△DCN中，

                        

∴△BAM≌△DCN（AAS）.
∴BM=DN,
∵BM∥DN，
∴四边形BMDN是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行的四边形）.

2.解：（1）当BE=DF时，四边形AECF是平行四边形，理由：
在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
（2）当∠AEB=∠CFD时，四边形AECF是平行四边形.理由：
在平行四边形ABCD中，AB=CD,AB∥CD,
∴∠ABE=∠CDF.
在△ABE和△CDF中，

                              

∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE=CF，
∵∠AEB=∠CFD,
∴∠AEF=∠CFE（等角的补角相等），
∴AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
说明：本题也可以证明△AOE≌△COF.

3.解：（1）四边形CFGH是平行四边形.证明如下：
在平行四边形ABCD中，AO=CO,BO=DO，
∵AE=1/2AO,CG=1/2 CO,
∴AE=CG,
∵BF=1/2BO,DH=1/2DO,
∴BF=DH,
∴AO-AE=CO-CG,即EO=GO,BO-BF=DO-DH,即FO=HO,
∴四边形EFGH是平行四边形，
（2）四边形EFGH是平行四边形，证明如下：
在平行四边形ABCD中，OA=CO,BO=DO,
∵AE=1/3AO,CG=1/3CO,
∴AE=CG,
又∵BF=1/3BO,DH=1/3 DO,
∴BF=DH.
∴AO=AE=CO=CG,即FO=HO,
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

（3）上述结论还成立.