北师大版八年级下册数学课本第一章复习题答案
- 名称：北师大版八年级下册数学课本答案
- 年级：八年级
- 版本：北师大版
- 科目：数学
- 学期：下册
- 系列：课本
1.已知：两直线平行，内错角相等；已知：两直线平行，同位角相等；等量代换.
2.证明：
∵AD//CB，
∴∠ACD=∠CAD.
∵CB=AD,CA=AC,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
∵AD//CB，
∴∠ACD=∠CAD.
∵CB=AD,CA=AC,
∴△ABC≌△CDA(SAS).
3.证明：
（1）∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠DBC=∠ECB,即∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC（等角对等边）.
（1）∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABD=∠ACE,
∴∠ABC-∠ABD=∠ACB-∠ACE,
∴∠DBC=∠ECB,即∠OBC=∠OCB.
∴OB=OC（等角对等边）.
（2）在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD=AE.
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.
∴AD=AE.
∵AB=AC，
∴AB-AE=AC-AD,即BE=CD.
4.证明：
∵BD,CE为△ABC的高，且BD=CE,又BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
∵BD,CE为△ABC的高，且BD=CE,又BC=BC，
∴Rt△BCD≌Rt△CBE（HL），
∴∠ABC=∠ACB.
∴AB=AC,即△ABC是等腰三角形.
5.解：如图1-5-24所示.
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=1:2:3，
,∴∠A=30°，∠C=90°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
,∴∠A=30°，∠C=90°.
∵在Rt△ABC中，∠A=30°，
6.证明：如图1-5-25所示，连接OP.
∵AN⊥OB,BM⊥OA,
∴ ∠PNO =∠PMO=90°.
在Rt△PNO与Rt△PMO中，
∴ ∠PNO =∠PMO=90°.
在Rt△PNO与Rt△PMO中，
∴Rt△PNO≌Rt△PMO（HL）.
∴PM=PN.
∴PM=PN.
7.证明：（1）如图1-5-26所示，
∵C是线段AB的垂直平分线上的点，
∴AC=BC.
∴△ABC是等腰三角形.同理可证△ABD是等腰三角形.
（2）第一种情况：点C，D在小段AB所在直线的异侧.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
∵AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA .
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,即∠CAD=∠CBD.
第二种情况：点C,D在线段AB所在直线的同侧，利用同样方法推理可得∠CAD=∠CBD.
∴AC=BC.
∴△ABC是等腰三角形.同理可证△ABD是等腰三角形.
（2）第一种情况：点C，D在小段AB所在直线的异侧.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
∵AD=BD,
∴∠DAB=∠DBA .
∴∠CAB+∠DAB=∠CBA+∠DBA,即∠CAD=∠CBD.
第二种情况：点C,D在线段AB所在直线的同侧，利用同样方法推理可得∠CAD=∠CBD.
8.已知：线段a（如图1-5-27所示）.求作：等腰△ABC，使得AB=AC，BC=a，BC边上的高AD=2a.
作法：如图1-5-28所示.
（1）作射线BM，在BM上截取线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点D；
（3）在射线DE上截取DA=2a；
（4）连接AB,AC,则△ABC即为所求.
（1）作射线BM，在BM上截取线段BC=a；
（2）作线段BC的垂直平分线DE交BC于点D；
（3）在射线DE上截取DA=2a；
（4）连接AB,AC,则△ABC即为所求.
9.解：在Rt△ABC中，
∵∠BAC=90°，AB=AC=a，
∴BC=
a.∵AD⊥BC，
∴BD=1/2BC=
/2a.∵AD⊥BC，∠B=45°，
∴AD=BD=
/2a.10.解：①Rt△AOD≌Rt△AOE .
证明：
∵高BD，CE交于点O，
∴∠ADO=∠AEO=90°.
∵OD=OE，AO=AO,
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL）.
②Rt△BOE≌Rt△COD.
证明：
由①知∠BEO=∠CDO=90°，
又∵OE=OD且∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△COD（ASA）.
证明：
由①知∠BEO=∠CDO=90°，
又∵OE=OD且∠BOE=∠COD,
∴△BOE≌△COD（ASA）.
③Rt△BCE≌Rt△CBD.
证明：
由②知∠BEC=∠CDB=90°，BE=CD且BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）.
证明：
由②知∠BEC=∠CDB=90°，BE=CD且BC=CB,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL）.
④△ABM≌△ACM.
证明：
由③知∠ABC=∠ACB，由①知∠BAM=∠CAM,又
∵AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（AAS）.
证明：
由③知∠ABC=∠ACB，由①知∠BAM=∠CAM,又
∵AM=AM，
∴△ABM≌△ACM（AAS）.
⑤Rt△ABD≌Rt△ACE.
证明：
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，又由①知AE=AD,
∴△ABD≌Rt△ACE（ASA）.
证明：
∵∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，又由①知AE=AD,
∴△ABD≌Rt△ACE（ASA）.
⑥△BOM≌△COM.
证明：由①知∠AOE=∠AOD，由②知∠BOE=∠COD,
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD,即∠AOB=∠AOC，
∴∠BOM=∠COM.
由③知∠BOC=∠OCB，
又∵OM=OM.
∴△BOM≌△COM（AAS）.
证明：由①知∠AOE=∠AOD，由②知∠BOE=∠COD,
∴∠AOE+∠BOE=∠AOD+∠COD,即∠AOB=∠AOC，
∴∠BOM=∠COM.
由③知∠BOC=∠OCB，
又∵OM=OM.
∴△BOM≌△COM（AAS）.
11.证明：如图1-5-29所示，连接BE.
∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE.
∴∠ABE=∠A=30°.
∵∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°.
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°.
∴BE=2CE.
∴AE=2CE.
12.解：∠AED=∠C=90°, ∠B=60°，
∴∠A=30°.
∴AD=2DE=2.
∴AC=AD+CD=4.
∵∠A=∠A, ∠AED=∠C ,
∴△AED∽△ACB，
∴DE/BC=AE/AC ,
13.解：此题答案不唯一.添加条件：∠CAB=∠DBA或∠CBA=∠DAB或AC=BD或BC=AD.选择添加条件AC=BD加以证明.
证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
证明：在Rt△ACB和Rt△BDA中，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）.
14.已知：在△ABC中，AB=AC,求证：∠B与∠C都是锐角.
证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C.假设∠B与∠C都为直角或钝角，于是∠B+∠C≥180°，这与三角形内角和定理矛盾，因此∠B和∠C必为锐角.即等腰三角形的底角必为锐角.
15.解：△AFD是直角三角形.理由如下：
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=64°，
∴△BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-64°-64°=52°.
∵∠BAC=72°，
而∠BAC=∠BAD+∠DAC,
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=72°-52°=20°.
∵AD=DE, ∠E=55°，
∴DAE=∠E=55°（等边对等角）.
∵∠DAE=∠DAC+∠FAE,
∴∠FAE=∠DAE-∠DAC=55°-20°=35°.
∵∠AFD=∠FAE+∠E，
∴∠AFD=35°+55°=90°，
∴△AFD是直角三角形.
16.解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE.
又∵BCE的周长=BE+EC+BC=AC+BC=8.
又∵AC-BC=2，得方程组
∵AB=AC ,
∴ AB=5.
∴ AB=5.
17.证明：在等边三角形ABC中，AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C.
∵AD=BE=CF,
∴ AB-AD=BC-BE=AC-CF，即DB=EC=FA.在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF（SAS）.
∴ DE=EF.同理可证△AFD≌△CEF(SAS),
∴ FD=EF,DE=EF=FD.
∴△DEF是等边三角形.
∴ DE=EF.同理可证△AFD≌△CEF(SAS),
∴ FD=EF,DE=EF=FD.
∴△DEF是等边三角形.
18.解：作图如图1-5-30所示，△ABC是所求作的等腰直角三角形.
19.解：如图1-5-31所示,在等腰△ABC中,AB=AC=5，BC=6.过点A作AD⊥BC交BC于点D，
∴BD=1/2BC=3.
在Rt△ABD中，由勾股定理得AD²=AB²-BD²=5²-3²=16，
∴ AD=4.
∴S△ABC=1/2BC • AD=1/2×6×4=12.
