人教版八年级下册数学课时练 18.2.5 第5课时 正方形 答案

【优效自主初探】
 

自主学习
 

1、相等、直角
 

2、相等、直角、相等、垂直平分、平分
 

3、正方形的判定。
  （1）相等、宜角  

  （2）相等  

  （3）直角  

  （4）互相垂直

  （5）相等
 

4、（1）2、45°、2、4、2 
 

      （2）AC=BD(答案不唯一)

 

【高效合作交流】
 

[例1]思路探究：
 （1）BC=CD、DF
 

 （2）因为四边形ABCD是正方形，

           所以AB =AD，

           因为△AEF是等边三角形，

           所以AE=AF．

           在Rt△ABE和Rt△ADF中，

           因为AB=AD，AE=AF，

           所以Rt△ABE≌Rt△ADF (HL)．
证明：因为四边形ABCD是正方形，

            所以AB-AD，

            因为△AEF是等边三角形，

            所以AE=AF．

            在Rt△ABE和Rt△ADF中，

            因为AB= AD，AE=AF，

            所以Rt△ABE≌Rt△ADF (HL)，

            所以BE=DF．

            又因为BC=DC。

            所以BC-BE=DC-DF．即EC=FC．

            所以CE=CF.
 

  [针对训练]1
解：
（1）四边形ACED是平行四边形，理由如下：

          因为四边形ABCD是正方形，

          所以AD∥BC,即AD∥CE，

          因为DE∥AC．

          所以四边形ACED是平行四边形．

（2）由(1)，知BC=AD=CE=CD，

           因为BD=8 cm，BC²+CD²=BD²-8²，

          所以BC== 4cm，

          所以BE=BC+CE=8(cm)．
 

[例2]思路探究：
（1）平行四边形、直角
 

（2）AD⊥BC
 

（3）相等
 

（1）证明：因为点O为AB的中点，

          所以OB=OA．

          又因为OE=OD，

          所以四边形AEBD是平行四边形，

          因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

          所以AD⊥BC．
          所以∠ADB=90°，

          所以平行四边形AEBD是矩形．
 

（2）解：∠BAC=90°时，矩形AL-BD是正方形．理由如下：

          因为∠BAC=90°，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，

          所以AD=BD=CD，

          所以矩形AEBD是正方形．
 

  [针对训练]2
证明：
（1）因为DE⊥AB，DF⊥AC，

          所以∠BED=∠CFD=90°，

          因为AB=AC，

          所以∠B =∠C.

          因为D是BC的中点，

          所以BD=CD，

          所以△BFD≌△CFD.
（2）因为DE⊥AB．DF⊥AC，

          所以∠BED=∠CFD=90°，

         又因为∠A=90°,

         所以四边形DFAE为矩形.

         因为∆BED≌∆CFD,

         所以DE=DF,

         所以四边形DFAE为正方形.
 

达标检测
 

1、D

2、C

3、D

4、∠A= 90°

5、证明：
（1）因为BE=CF，

          所以BF=CE，

         又因为AF=DE，AB=DC，

         所以△ABF≌△DCE.
 

（2）由△ABF≌△DCE，得∠B =∠C，

          由AB∥CD，得∠B++∠C=180°，

          所以∠B=∠C=90°．

          又因为四边形ABCD是菱形，

          所以四边形ABCD是正方形.
 

【增效提能演练】

1、D

2、B

3、B

4、22.5°

5、证明：因为四边形ABCD是正方形，

      所以DA =AB，∠1+∠2 =90°．

      又因为BE⊥AG，DF⊥ AG，

      所以∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，

      所以∠2=∠3，∠l=∠4.

      又因力AD=AB，

      所以△ADF≌△BAE．
 

6、解答。
（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，

          所以CD=CB，∠DCA =∠BCA，

          又因为CE=CE，

          所以△BEC≌△DEC．
 

（2）解：因为∠DEB =140°，△BEC≌△DEC，

          所以∠DEC=∠BEC=70°，

          所以∠AEF=∠BEC= 70° ，

          因为∠DAB=90°．

          所以∠DAC=∠BAC=45°．

          所以∠AFF=180°-70°-45°=65°．
 

7、解答。
（1）证明：因为AF∥BC．

           所以∠EAF=∠EDB，

           因为E是AD的中点，

           所以AE=DE．

           在△AEF和△DEB中，∠EAF=∠EDB，AE=DF，∠AEF=∠DEB，

           所以△AEF≌△DEB (ASA)．

           所以AF=BD.

           因为在△ABC中，∠BAC=90°，AD是中线，

           所以AD=BD=DC=1/2BC．
           所以AD=AF．
 

（2）解：四边形ADCF是正方形．证明如下：

          因为AF=BD=DC，AF∥BC，

          所以四边形ADCF是平行四边形．

          因为AB=AC，AD是中线，
          所以AD⊥BC．

         又因为AD=AF．

         所以四边形ADCF是正方形．
 

8、D
 

9、解答。
（1）证明：在正方形ABCD中，

           因为BC=CD，∠B=∠CDF．BE=DF，

           所以△CBE≌△CDF(SAS)．

           所以CE=CF．

 （2）解：GE=BE+GD成立．理由如下：

           由(1)，得△CBE≌△CDF．

           所以∠BCE=∠DCF，

           所以∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，

           又因为∠GCE=45°，

           所以∠GCF=∠GCE=45°，

           又因为CE=CF，GC=GC，

           所以△ECG≌△FCG(SAS)．

           所以GE=GF，

           所以GE=DF+GD=BE+GD．
 

10、解答。
（1）证明：因为四边形ABCD为正方形，

          所以AB=AD．∠D=∠B=90°，DC=CB．

          因为E，F分别为DC，BC的中点．

          所以DE=1/2DC．BF=1/2BC．

          所以DE=BF.

          因为在△ADE和△ABF中，
         

          所以△ADE≌△ABF(SAS)．

（2）解：由题意，知△ABF，△ADE，△CEF均为直角三角形，
                  且 AB=AD=4，DE= B=1/2×4=2,CE=CF =1/2×4=2

                  所以S∆AEF=S正方形ABCD-S△ADE - S∆ABF-S∆CEF
                                    =4×4-1/2×4×2-1/2×4×2-1/2×2×2
                                    =6.