北师大版九年级上册数学第1章复习题答案

1.解：设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm和4cm，则有勾股定理，得AB=√(OA^2+OB^2 )=√(2^2+4^2 )=2√5 （cm），

即林习惯的边长为2√5 cm.

2.解：由OA=OB=√2/2 AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.

因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，

故四边形ABCD必是正方形.

3.解：不一定是菱形，因为也可能是矩形.

4.已知：如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求（1）BD的长；（2）菱形的面积.

解：（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），

AC⊥BD且OA=OC= 1/2 AC= 1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√(AB²-AO²)=√(50²-30²)=40（cm）.

所以BD=2OB=80cm.

        （2）S菱形ABCD=1/2 AC∙BD= 1/2×60×80=2 400（cm^2 ）.

5.已知：如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.

求证：四边形EFPQ为正方形.

证明：∵E,Q分别为B,AD的中点，

∴四边形EFPQ为平行四边形.

∵AC=BD,∴EF=EQ.

∴□EFPQ为菱形.

∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.

∴∠QEF=90°.

∴菱形EFPQ是正方形.

6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,

∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.

又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，

∴∠DAE=1/2∠DAC= 1/2×45°=22.5°.

7.解：（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.

（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.

8.证明：如图1-4-22所示，

∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.

∵DE//AC,∴∠2=∠3.

∴∠1=∠3.∴AE=DE.

∵DE//AC,DF//AB,

∴四边形AEDF是平行四边形.

又AE=DE,∴□AEDF是菱形.

9.证明：如图1-4-23所示，

∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，

∴ME=1/2BC.

同理MF=1/2BC,∴ME=MF.

10.已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2 l=2√2 l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2 l）^2=1/2 l^2.

11.证明：∵CP//BD,DP//AC,

∴四边形CODP是平行四边形.

∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.

∵OC=1/2 AC,OD= 1/2 BD,∴OC=OD

∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.

12.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC=BD.

∵OA=OC,OB=OD,

又∵AM=BP=CN=DQ,

∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,

∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.

∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,

∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.

13.证明：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,

∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.

∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.

在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，

∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.

∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.

∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.

∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.

∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.

14.解：由AP=4t cm，CQ=l cm，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.

∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.

当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,

∴20-t=4t，解得t=4

∴当t为4时，三角形APQD是矩形.

15解：△BFD是等腰三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.

∵∠FBD=∠DBC,

∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.

∴△BFD是等腰三角形.

16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,

∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,

∴△ABC≌△FGC,

∴∠ACB=∠FCG.

∵∠ACB+∠ACD=90°，

∴∠FCG+∠ACD=90°，

即∠ACF=90°.

∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形.

∴∠AFC=45°.

17.解不一定，因为还可能是菱形，若要判断这块纱巾是否为正方形，还需要检验对角线是否相等.

18.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC//DA.

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AH平分∠DAB,BH,平分∠ABC,

∴∠HAB=1/2∠DAB,∠HBA= 1/2∠ABC.

∴∠HAB+∠HBA=90°.

∴∠H=90°.

同理可证∠F=90°，∠HEF=90°.

∴四边形EFGH是矩形.

19.解：略.提示：如图1-4-24所示图形仅供参考.