北师大版九年级上册数学习题1.6答案

1.解：在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB= 1/2 AC= 1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√(AC^2-AB^2 )=√(4^2-2^2 )=2√3.

∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.

2.解：在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.

∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.

∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.

∵AC=BC,OA=1/2 AC,OB= 1/2 BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.

∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.

3.证明：∵D是BC的中点，∴BD=CD.

∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.

∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.

∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.

※4.解：将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.  

折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=x cm，则AE=x cm，BE=BC-CE=（8-x）cm.

在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.

在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√(AB^2+BC^2 )=√(6^2+8^2 )=10cm.

∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.

∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√(EO^2-OC^2 )=√(（25/4）^2-5^2 )=15/4 cm，∴折痕EF=2EO=2× 15/4=15/2 cm.

※5.解：如图1-2-39所示，

连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√(AB²+BC²)=√(3²+4²)=5.又因为AC=BD,AO= 1/2 AC,DC= 1/2 BD,

所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD= 1/2 AO.PE+ 1/2 DO∙PE= 1/2 AO（PE+PE）=1/2×5/2 （PE+PE）=5/4 （PE+PE）.又因为S△AOD= 1/4 S矩形ABCD= 1/4×12=3，所以5/4 （PE+PE）=3，解得PE+PE= 12/5.