北师大版九年级上册数学习题1.8答案
- 名称：北师大版九年级上册数学课本答案
- 年级：九年级
- 版本：北师大版
- 科目：数学
- 学期：上册
- 系列：课本
1.答案：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.
又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.
又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
2.证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB,AD//CB,
∴∠ADF=∠CBE.
在△ADF和=∠CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，
∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.
∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∵AD=AB,
∴∠ADF=∠ABE.
在△AFD和AEB中，
∴△AFD≌△AEB（SAS）.
∴AF=AE,
∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
3.解：四边形EFGH是正方形.
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,
即BE=CF=DG=AH.
所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH是菱形.
因为∠AEH+∠AHE=90°，
所以∠DHG+∠AHE=90°，
所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.
4.解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.
证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD.
重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.
又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,
∴∠AOE=∠BOF,
∴△AOE≌△BOF.
∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,
∴S△AOB=S四边形EBFO.
又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO.
∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD.
