沪科版八年级下册数学课本习题19.3答案
- 名称：沪科版八年级下册数学书答案
- 年级：八年级
- 版本：沪科版
- 科目：数学
- 学期：下册
- 系列：课本
1、已知：如图19-3-33所示，
四边形ABCD是矩形，
AC，BD相交于点O，∠AOB=120°.
求证：AD=1/2BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∠AOB=120°，
∴OA=OB，∴∠ABO=∠ BA0=300，
∴在Rt△DAB中，AD=1/2BD．
2、解：（1）在矩形ABCD中，
∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB.
∵∠DAE= 1/22∠BAE，
∴∠DAE=60°，∠ BAE=30°.
又∵AE⊥BD，∴ ∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°.
又∵OA=OB，∴∠ BAO=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴AB=AO，
∴∠EAC=1/2∠ BAO=30°
（等腰三角形三线合一）．
（2）∵BE:ED=1:3，∴设BE=x ，
则ED=3x ，BD= BE+ED=4x .
∴OA=OB=OD=1/2BD=2x．
∴OE= BE=x ．
∵AE⊥BD，∴OA=AB=1.
∴BD=2OA=2.
在Rt△ABD中，
3、（1）已知：如图19-3-34所示，
AF，BH，CH，DF分别是□ABCD各内角的平分线．
AF与BH交于点E，DF与CH交于点G．
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：在□ABCD中，∠ADC+ ∠BCD=180°.
又∵CH，DF分别是∠BCD和∠ ADC的平分线，
∴∠1+∠2=90°，∴∠ DGC=90°．
∴∠HGF=90°．
同理∠HEF=∠ H=∠ F=90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
（2）已知：如图19-3-35所示，
AF，BH，CH，DF分别是矩形ABCD各内角的平分线．
AF与BH交于点E，DF与CH交于点G.
求证：四边形EFGH是正方形．
证明：在矩形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°．
∵CH，DF分别是∠BCD和∠ADC的平分线，
∴ ∠1=∠2=45°，
∴ DG= GC，∠DGC= 90°．
同理∠ H=∠F=90°，
∴ 四边形EFGH是矩形．
∵∠ADF= ∠DAF=∠HBC=∠HCB=45°．AD=BC，
∴△ADF≌△BCH．
∴DF=CH．∴HG= GF．
∴四边形E'FGH是正方形．
4、证明：如图19-3-36所示，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//=CD．
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=1/2AB，DF=1/2CD．
∴AE//=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AF= DE，∴□AEFD是矩形．
∴ ∠ BAD=90°，∴ □ABCD是矩形.
5、如图19-3-37所示．
作法：（1）作∠ MAN=90°；
（2）在AM，AN上分别截取AB =4 cm，AD=3 cm；
（3）过点B作BE//AD，过点D作DC//AB交BE于点C，
则四边形ABCD为所求作的矩形．
连接BD，在Rt△ABD中，
所以它的对角线长为5 cm．
6、解：如图19-3-38所示．在菱形ABCD 图19-3-38中，
AM⊥BC，M是BC的中点，
∴ AB=AC.
又∵AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴ ∠BAD=120°，即菱形的钝角为120°．
7、解：如图19-3-17所示，
在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
且AC⊥BD于点O.
∴AO=3cm，BO=4cm.
在Rt△ABO中，
∵S菱形ABCD=1/2AC·BD=CD·AM，
∴1/2×6×AM，∴AM=4.8m.
即平行线AB与CD之间的距离为4.8cm。
8、解：连接AC，BD，则AC=BD.
∵E，N分别是AB，AD的中点，
∴EN=1/2BD.
同理MF=1/2BD，∴EN=MF=1/2BD.
同理可证EM=NF=1/2AC.
∴EM=MF=NF=NE.
∴四边形EMFN为菱形.
9、证明：如图19-3-39所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC= ∠BCA.
又∵∠BAC= ∠DAC，
∴∠BAC=∠ BCA，
∴□ABCD是菱形．
10、作法：（1）作线段AC=3 cnL
（2）分别以A，C为圆心，以3 cm为半径画弧，两弧相交于点B，D．
（3）连接AB，BC，AD，CD，则四边形ABCD就是所求作的菱形．
示意图如图19-3-40所示．
11、证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形，
如图19-3-41所示，
过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N.
∵纸条等宽，
∴AM=AN.
∵S□ABCD =BC· AM=CD· AN，
∴BC= CD.
∴□ABCD为菱形．
12、证明：∵DE⊥AC， DF⊥AB，
∴∠DFA=∠DEA=90°.
又∵∠A=90°，
∴四边形AEDF为矩形，
∵D是BC的中点，
∴DB=DC.
又∵BF=CE，
∴Rt△BFD≌Rt△CED，
∴F=DE，
∴四边形AEDF为正方形，
四边形ABCD是矩形，
AC，BD相交于点O，∠AOB=120°.
求证：AD=1/2BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，∠AOB=120°，
∴OA=OB，∴∠ABO=∠ BA0=300，
∴在Rt△DAB中，AD=1/2BD．
2、解：（1）在矩形ABCD中，
∠DAE+∠BAE=90°，OA=OB.
∵∠DAE= 1/22∠BAE，
∴∠DAE=60°，∠ BAE=30°.
又∵AE⊥BD，∴ ∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°.
又∵OA=OB，∴∠ BAO=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴AB=AO，
∴∠EAC=1/2∠ BAO=30°
（等腰三角形三线合一）．
（2）∵BE:ED=1:3，∴设BE=x ，
则ED=3x ，BD= BE+ED=4x .
∴OA=OB=OD=1/2BD=2x．
∴OE= BE=x ．
∵AE⊥BD，∴OA=AB=1.
∴BD=2OA=2.
在Rt△ABD中，
3、（1）已知：如图19-3-34所示，
AF，BH，CH，DF分别是□ABCD各内角的平分线．
AF与BH交于点E，DF与CH交于点G．
求证：四边形EFGH是矩形．
证明：在□ABCD中，∠ADC+ ∠BCD=180°.
又∵CH，DF分别是∠BCD和∠ ADC的平分线，
∴∠1+∠2=90°，∴∠ DGC=90°．
∴∠HGF=90°．
同理∠HEF=∠ H=∠ F=90°．
∴ 四边形EFGH是矩形．
（2）已知：如图19-3-35所示，
AF，BH，CH，DF分别是矩形ABCD各内角的平分线．
AF与BH交于点E，DF与CH交于点G.
求证：四边形EFGH是正方形．
证明：在矩形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°．
∵CH，DF分别是∠BCD和∠ADC的平分线，
∴ ∠1=∠2=45°，
∴ DG= GC，∠DGC= 90°．
同理∠ H=∠F=90°，
∴ 四边形EFGH是矩形．
∵∠ADF= ∠DAF=∠HBC=∠HCB=45°．AD=BC，
∴△ADF≌△BCH．
∴DF=CH．∴HG= GF．
∴四边形E'FGH是正方形．
4、证明：如图19-3-36所示，连接EF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//=CD．
又∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴AE=1/2AB，DF=1/2CD．
∴AE//=DF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AF= DE，∴□AEFD是矩形．
∴ ∠ BAD=90°，∴ □ABCD是矩形.
5、如图19-3-37所示．
作法：（1）作∠ MAN=90°；
（2）在AM，AN上分别截取AB =4 cm，AD=3 cm；
（3）过点B作BE//AD，过点D作DC//AB交BE于点C，
则四边形ABCD为所求作的矩形．
连接BD，在Rt△ABD中，
所以它的对角线长为5 cm．
6、解：如图19-3-38所示．在菱形ABCD 图19-3-38中，
AM⊥BC，M是BC的中点，
∴ AB=AC.
又∵AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴ ∠BAD=120°，即菱形的钝角为120°．
7、解：如图19-3-17所示，
在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，
且AC⊥BD于点O.
∴AO=3cm，BO=4cm.
在Rt△ABO中，
∵S菱形ABCD=1/2AC·BD=CD·AM，
∴1/2×6×AM，∴AM=4.8m.
即平行线AB与CD之间的距离为4.8cm。
8、解：连接AC，BD，则AC=BD.
∵E，N分别是AB，AD的中点，
∴EN=1/2BD.
同理MF=1/2BD，∴EN=MF=1/2BD.
同理可证EM=NF=1/2AC.
∴EM=MF=NF=NE.
∴四边形EMFN为菱形.
9、证明：如图19-3-39所示
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAC= ∠BCA.
又∵∠BAC= ∠DAC，
∴∠BAC=∠ BCA，
∴□ABCD是菱形．
10、作法：（1）作线段AC=3 cnL
（2）分别以A，C为圆心，以3 cm为半径画弧，两弧相交于点B，D．
（3）连接AB，BC，AD，CD，则四边形ABCD就是所求作的菱形．
示意图如图19-3-40所示．
11、证明：∵AB//CD，AD//BC，
∴ 四边形ABCD为平行四边形，
如图19-3-41所示，
过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N.
∵纸条等宽，
∴AM=AN.
∵S□ABCD =BC· AM=CD· AN，
∴BC= CD.
∴□ABCD为菱形．
12、证明：∵DE⊥AC， DF⊥AB，
∴∠DFA=∠DEA=90°.
又∵∠A=90°，
∴四边形AEDF为矩形，
∵D是BC的中点，
∴DB=DC.
又∵BF=CE，
∴Rt△BFD≌Rt△CED，
∴F=DE，
∴四边形AEDF为正方形，
