华东师大版八年级下册数学课本习题19.2答案

1、 解：S菱形ABCD=1/2•AC•BD=1/2×6×8=24（cm2）,因为AC⊥BD,且AO=CO=1/2AC=3cm,BD=DO=1/2BD=4cm. Rt△ABO中，OA=3cm,OB=4cm,AB2=OA2+OB2,即AB2=32+42=25，所以AB=5（cm），所以菱形的周长为5×4=20（cm）.

答：菱形的周长为20cm,面积为24cm2.

 

2、 证明：∵DE//AC,DF//AB,

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF,

又∵AD平分∠EAF，∴∠EAD=∠FAD，∴∠FAD=∠ADF,

∴AF=FD，∴四边形AEDF是菱形.

 

3、 证明：如图19-2-42.

设AD与EF相较于点O.

∵AD是∠BAC的平分线。

∴∠EAO=∠FAO,

∵EF⊥AD, ∴⊥AOE=⊥AOF=90，

又∵AO=AO, ∴△AOE≌ △AOF,

∴AE=AF,OE=OF.

∵EF是AD的垂直平分线，

∴AE=AF,OE=OF.

∴AE=DE,AF=DF,

∴AE=ED=DF=AF,

∴四边形AEDF是菱形,(四条边都相等的四边形是菱形)。

 

4、 证明：如图19-2-43

∵DG⊥AB,EK⊥AB,

∴DG//EK.

又∵DE⊥AC,GH⊥AC,

∴DE//GH,

∴四边形DEFG是平行四边形，

在ΔBDG和ΔCDE中，

∵∠BDG=∠CED=90，BD=CD（中点定义），

∴∠B=∠C（等边对等角）

∴△BDG≌ △CDE，∴DG=DE,

∴四边形DEFG是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

∴GE与FD互相垂直。

 

5、 解：如图19-2-44，因为菱形的周长为2p,

所以BC=1/4×2p=1/2p.

 因为AC+BD=q，Rt△BOC中，有BC2=（1/2BD）2+（1/2AC）2，

即（1/2p）2=（1/2BD）2+（1/2AC）2，

所以p2=BD2+AC2，

P2=（BD+AC）2-2BD•AC.

又因为BD+AC=q,

所以BD•AC=1/2（q2-p2）.

又因为S菱形ABCD=4S△BOC=4×1/2OB•OC=2×1/2BD•1/2AC=1/2BD•AC,

所以S菱形ABCD=1/4（q2-p2）。

 

6、 证明：如图19-2-45，

∵四边形ABCD是矩形,

∴AD//BC,

∴∠AEF=∠CFE,

∵EF垂直平分AC，

∴∠AOE=∠COF=90º，OA=OC,

∴△AOE ≌ △COF, ∴OE=OF,

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

∵AC⊥EF,

∴□AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。