华东师大版八年级下册数学课本习题19.1答案

1、（1）证明：如图19-1-39所示，

在△ABC中，

AB=6，BC=8，AC=10.

∴AB2+BC2=62+82=100 ，AC2=100 ，

∴AB2+BC2=AC2

∴△ABC是直角三角形，

∴∠ABC=90º，

又∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形，（有一个角是直角的平行四边形）。

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，

∴ BD=AC=10.

 

2、证明：如图19-1-40，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD,AD//BC,

∴∠1=∠3，∠2=∠4，

∵∠3=∠4，∴∠1=∠2，∴OD=OC,

∵点O是AB的中点 ，∴OA=OB,

在△AOD与△BOC中，

∴△AOD ≌ △BOC,

∴∠A=∠B,

∵AD//BC，∴∠A+∠B=180 º

∴∠A=∠B=90 º，∴□ACBD是矩形, （有一个角是直角的平行四边形）。

 

3、证明：如图19-1-41，

方法1：∵AE//BD,AB//DE,

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AE=BD,

∵BD=CD，∴AE=CD,

又∵AE//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵点D是BC的中点，∴BD=DC,

又∵AB=AC，∴AD⊥BC，∴∠ADC=90，∴□ACBD是矩形, （有一个角是直角的平行四边形）。

方法2：∵AE//BD,AB//DE,

∴四边形ABCD是平行四边形,

∴AB=DE,AE=BD,

∵点D是BC的中点，∴BD=CD,

∴AE=CD,

又∵AE//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB=AC, ∴DE=AC

∴□ACBD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).

 

4、证明：如图19-1-42所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB//CD,AD//BC,

∴∠ABC+∠BCD=180 º，

∵BH,CH分别是∠ABC, ∠BCD的平分线，

∴∠HBC=1/2∠ABC，∠HCB=1/2∠BCD, ∴∠HBC+∠HCB=90 º，

∴∠BHC=90 º

同理可得∠AFD=90 º，

∵AD//BC，∴∠DAB+∠ABC=180 º，

∵AE和BE分别是∠DAB与∠ABC的平分线，

∴∠BAE=1/2∠DAB, ∠ABE=1/2∠ABC, ∴∠BAE+∠ABE=90 º，

∴∠AEB=180 º -90 º =90 º，

∴∠HEF=∠AEB=90 º，

∴四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）。

∴EG=FH。

 

5、证明：如图19-1-43所示，连接EC,BF.

          

在△ABE与△ACF中，

∵AB=AC, ∠EAB=∠FAC,AE=AF.

∴△ABE≌ △ACF，∴BE=CF,

又∵EF=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠EAB=∠FAC,

∴∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠CAB,即∠EAB+∠BAC=∠FAC+∠CAB,

∵AE=AF,AC=AB,

∴△EAC≌ △FAB,

∴EC=BF, ∴□EBCF是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形).

 

6、解：如图19-1-18，

过点G作GE⊥BD于点E,则△ADG≌ △EDG,

∴DE=AD=BC=1，AG=GE.

设AG=GE=x则BG=AB-AG=2-x.

Rt△ABD中，

∴BE=BD-DE=BD-AD=√5-1.

Rt△BGE中,x2+（√5-1）2=（2-x）2,解得x=(√5-1)/2≅0.62.