1、 如图19-1-23,
AD,AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线,BE⊥AE,DA⊥BC,
求证:四边形AEBD是矩形,
证明:∵AD,AE分别是△ABC的内角∠BAC和外角∠BAF的平分线,
∴∠DAB=1/2∠BAC, ∠BAE=1/2∠BAF,
∵∠BAC+∠BAF=180 º,∴∠DAB+∠BAE=90º,∴∠DAE=90 º.
∵BE⊥AE,DA⊥BC∴∠AEB=∠ADB=90 º
∴四边形AEBD是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)。
2、已知:如图19-1-37,在四边形ABCD中,
AB+AC+AD=BA+BC+BD=CA+CD+CB=DA+DB+DC,
求证:四边形ABCD是矩形,
证明:如图19-1-37所示。
∵AB+AC+AD=CA+CD+CB.
∴AB+AD=CD+CB, ①
∵BA+BC+BD=DA+DB+DC.
∴BA+BC=DA+DC, ②
∴①+②,得2AB+AD+BC=2CD+AD+BC,即AB=CD.
∵AB+AD=CD+BC,∴AD=BC.
∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)。
∵AB+AC+AD=BA+BC+BD,
∴AC=BD,
∴□ACBD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).
3、证明:如图19-1-38所示。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∵CD=CE,∴AB=CE,
∴四边形ABEC是平行四边形,
∵AD//BC,∴∠D=1,
∵∠AFC=∠1+∠2,∠AFC=2∠D.
∴2∠D=∠1+∠2,∴2∠1=∠1+∠2,∴∠1=∠2,∴FE=FC.
∵BC与AE互相平分,∴BF=FC,AF=FE,∴BF=FC=AF=FE.
∴BC=AE,∴□ACBD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).